「無限」に魅入られた天才数学者たち（前編）

　本書の著者であるアミール・Ｄ・アクゼルを、フェルマーの最終定理を扱った『天才数学者たちが挑んだ最大の難問』の著者として御存知の方も多いだろう。訳は、これまたベストセラーとなった『フェルマーの最終定理』の翻訳者としても知られる青木薫氏である。

←　買ってきたプランターの花々を土ごと、そっくり車道沿いの花壇に植えたが、今のところ、元気に咲いている。気がかりなのは、雑草も目立つようになってきたこと。

　本書の帯には、「数学は無限をいかに手なずけたか」という題のもと、「数学者として「無限」を初めて直視し、その構造の探求に賭けたラディカルな天才の驚くべき業績とは？」と銘打たれている。

　しかし、本書の主役であるゲオルク・カントールは、無限の探求に身を捧げた挙げ句、当代の大物数学者に徹底的に虐げられたこともあり、狂気の淵に沈んでいく。やがてカントールの仕事を引き継いで、「数学内部に証明不可能な命題が存在することを示」すという、重大な数学的哲学的貢献を為したクルト・ゲーデルもまた、激しい被害妄想に苦しむようになる。

　ゲーデルは、カントールの後を受け継いで、「証明とは何か？　証明と真実とは同じことなのか？　真である事柄は、常に証明可能なのか？　有限な系は、その系を超えたものに対しても証明を与えうるのか？」という哲学的な問い掛けをしたのだ。

→　移植した梅の木も、その花々をいっそう勢いよく咲かせてくれている。水遣りは毎日。数日に一回は、米の研ぎ汁を撒いている。いいのか？

　その狂気の淵から少しでも＜現実＞に戻ろうと、カントールはシェイクスピア劇は、実は、シェイクスピアが書いたのではなく、フランシス・ベーコンであることを証明しようと躍起になる。
　一方、ゲーデルは、ライプニッツについて、奇妙な説を打ち立てようと不毛な努力を傾ける。その間だけ、精神に平安が訪れるかのようだった。けれど、ゲーデルは食べ物に毒を盛られているのではないかという妄想に取り憑かれ、餓死して果てたのである。

　数学の世界で無限をめぐる探求をした者で、少なからずの者が狂気の淵に沈んでいった。まるで、神は「無限」を弄ぶ人間を罰するかのようである。

　しかし、少なくとも西欧においては、遠い昔から無限をめぐる考察が繰り広げられてきたのだ。有名なカメに追いつけないウサギというゼノンのパラドックスを初め、アルキメデスもユウドクソスも無限について研究をした。
　かの数学者、物理学者、天文学者にして人文科学者であるガリレオも、その一人だった。ニュートンもライプニッツも、ガウスも、オイラーも手を出さなかった実無限という「秘密の園」に手を出したのである。

←　アミール・Ｄ．アクゼル著『「無限」に魅入られた天才数学者たち』（青木　薫【訳】　早川書房）　「数学は無限をどういかに手なずけたか」という副題。　小生は、過日、アミール・D．アクゼル著の『神父と頭蓋骨―北京原人を発見した「異端者」と進化論の発展』（林　大【訳】　早川書房）を読んだばかり。やはり、科学のアマチュアを手なずける手際はさすが、と感じさせる。多少なりとも専門的素養があると、物足りないだろうが。「無限」を巡っては、一般書向けの本としては、ジョン・D．バロー著の『無限の話』（松浦俊輔訳　青土社）が秀逸である。

　彼が示したのは、「１、２、３、４、…」という整数の全体の数と、それぞれの整数を二乗した数、つまり「１、４、９、１６、…」の全体の数とは、同じだけあると結論したのである。素人目にはパラドックスにしか思えないこの結論も、数学的には文句のつけようがないのである。

　ここにある問題の恐ろしさは、まさに無限を巡る恐ろしさのほんの一端を示す。「無限集合はそれ自身よりも小さい部分集合（真部分集合）と、要素数において等しくなりうるという性質」をガリレオが発見したのだ。
　それをさらにボルツァーノが発展させた。敢えて説明は控えるが、彼は０と１のあいだにあるすべての数と０と２の間にあるすべての数とが一対一対応することを示したのである。

　カントールは、この無限の一見するとパラドックスに更に奇妙なパラドックスを付け加えた。彼は一次元の線と二次元の面とを一対一対応させることに成功したのだ。
　そして、「ｎ次元空間には、一次元の直線と同じだけの点が含まれることを示したのである」。

→　黄色の（ラッパ）水仙も、このところの陽気に、満開である。裏の畑の水仙も群れを成して育ってきた。

　このときカントールが書いた「我見るも、我信ぜず」という言葉は有名である。

　さて、素人の小生が数学について云々するのはこれでやめておく。
　ただ、彼ら数学者の無限を巡る探求を背後で支え、また彼らを駆り立てた情熱は、何処かで神への対話、神への問い掛けの念があったことだけは述べておきたい。